(no subject)

[zorgeo]

Корень квадратный из единицы - это элемент не скажу какого пространства, который при умножении на себя дает в результате единицу. В натуральных числах такой только один, это сама единица и есть. Уже в целых появляется второй корень, минус единица. корней может быть и больше. Скажем, в группе вращений трехмерной сферы поворот на 180° вокруг любой оси два раза подряд возвращает ее в то же положение, то есть это корень из единичного, тождественного преобразования.

в функциональных пространствах вообще караул. скажем, корень из единичной функции y=х - это такая функция g(х), что g(g(х)) ≡ x. Я знаю по меньшей мере одно семейство корней, g(x)=a-x, где a - произвольная константа. А есть ли ещё? не сомневаюсь.

или, скажем, интегральные преобразования. преобразование Фурье, при определённой нормировке, равно своему обратному, то есть выполнив его два раза подряд, получим исходную функцию. а ещё? есть ли ещё интегральные преобразования - корни второй степени из тождества? а корни высших порядков?

интересно, есть ли классификация всех корней единицы для упомянутых пространств?

и, чтоб два раза не вставать. есть расхожее мнение, что "спектр гаусса есть гаусс". это, вообще говоря, неверно. только спектр несмещенного гаусса есть гаусс. а спектр смещенного - это гаусс, умноженный на комплексную экспоненту. и наоборот, спектр гауссовского импульса с некоторой несущей частотой есть два гаусса, симметричных относительно нулевой частоты, чтоб эрмитовость обеспечить.

таким образом, только несмещенный гаусс есть собственная функция преобразования фурье. интересно, а описаны ли все собственные функции преобразования Фурье?

Comments

[sibirets.livejournal.com]

Все собственные функции преобразования Фурье можно описать, замечая, что, во-первых, гамильтониан гармонического осциллятора (ГО) симметричен относительно перестановки импульса и координаты и тем самым его собственные функции имеют отношение к вопросу о собственных функциях преобразования Фурье, и что, во-вторых, волновые функции стационарных состояний ГО представляют полную систему, т.е. по ним можно разложить любую (достаточно хорошую) функцию.

Далее, пусть у нас есть собственная функция преобразования Фурье, соответствующая некоторому собственному значению \lambda. Вычислениями можно проверить, что оператор рождения, т.е. (x - ip)/sqrt(2), действуя на такую функцию, производит снова собственную функцию преобразования Фурье, но с собственным значением i\lambda. Наконец, учитывая, что основное состояние ГО - Гаусс, т.е. собственная функция преобразования Фурье с собственным значением 1, получаем, что стационарные состояния ГО являются собственными функциями преобразования Фурье, отвечающими собственным значениям

1, i, -1, -i, 1, i, ...

Так что любая суперпозиция собственных функций ГО с номерами кратными 4 (если отсчитывать от нуля) будет собственной функцией преобразования Фурье. И наоборот. То, что у преобразования Фурье только эти четыре собственных значения, следует из того, что, применяя преобразование к любой функции четыре раза, получаем исходную функцию, т.е. \lambda^4 = 1.

Любопытно, что среди собственных функций преобразования Фурье есть не только монстры в виде сумм гауссов с полиномами Эрмита, но и довольно приземленные, например, 1/cosh x. На эту тему у меня в ленте как-то было небольшое обсуждение

http://leblon.livejournal.com/108815.html

[zorgeo.livejournal.com]

я совсем дебил. мне казалось, квадрат фурье есть тождество при некотором выборе определений (масштабов). а вот каледин - которому я доверяю - пишет что нет, а только четвертая степень. надо будет проделать на досуге.

я знал, что решения вида эрмит-гаусс суть сф пф. в моей науке это вылезает из соображений диффракции. в пределе фраунгофера интеграл кирхгофа превращается в интеграл фурье. соответственно, диффракция, скажем, на линзе - это фурье-преобразование. и известны лазерные моды, они как раз эрмит-гауссы, нулевая - чистый гаусс, с которым я и работаю.

однако, подозреваю, у пф могут быть и иные сф, не только ЭГ и обратный кош. как бы их все узнать?

[sibirets.livejournal.com]

В обратном ПФ знак другой в экспоненте, поэтому если дважды провести ПФ функции f(x), то получим f(-x). Поэтому для того, чтобы получить исходную функцию, надо провести ПФ еще два раза. Что-то должно получаться более простое из того, что квадрат ПФ - тождественное преобразование четных функций, надо подумать.

А с полиномами Эрмита и Гауссом приятность в том, что с их помощью легко построить собственную функцию ПФ с наперед заданным собственным значением. Более того, из полноты собственных функций гармонического осциллятора следует, что таким образом можно построить _все_ собственные функции ПФ.